题目内容
为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为an个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．
（1）当a1≠30时，写出数列{an}的一个递推公式，并证明数列{an-30}是一个等比数列；
（2）求出用a1和n表示的数列{an}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a1的取值范围．
（1）当a1≠30时，写出数列{an}的一个递推公式，并证明数列{an-30}是一个等比数列；
（2）求出用a1和n表示的数列{an}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a1的取值范围．
（1）依题意，有an=
an-1+15，（其中n≥2）；
∴an-30=
(an-1-30)，
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
为公比的等比数列．
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(
)n-1；
∴an=30+(a1-30)•(
)n-1，
又an-an-1=(a1-30)[(
)n-1-(
)n-2]=(30-a1)•(
)n-1＞0．
∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．
| 1 |
| 2 |
∴an-30=
| 1 |
| 2 |
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(
| 1 |
| 2 |
∴an=30+(a1-30)•(
| 1 |
| 2 |
又an-an-1=(a1-30)[(
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| 2 |
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．
练习册系列答案
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名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第
次选修人数为
个，且第
）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第
次选修人数的一半还多
人。
时，写出数列
的一个递推公式，并证明数列
是一个等比数列；
和
名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第
次选修人数为
个，且第
）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第
次选修人数的一半还多
人。
时，写出数列
的一个递推公式，并证明数列
是一个等比数列；
和