Question

5．△ABC中，已知点A（-2，4），∠B的平分线BE所在直线方程式x-5y+9=0，且边BC的中点坐标为（0，0.5）
（1）求△ABC的面积
（2）若点P是△ABC的外接圆上的动点，求$\frac{2y+3}{2x+3}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据BC边的中点D关于∠B平分线的对称点F在直线AB上，求出AB的直线方程，从而求出B、C点的坐标，再由点C到直线AB的距离d以及|AB|的长，求出△ABC的面积S；
（2）由|AB|、|BC|与|AC|的长，得出△ABC是直角三角形，从而求出△ABC的外接圆方程，把$\frac{2y+3}{2x+3}$看作圆M上的点P与定点Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）连线的斜率，利用数形结合求出它的取值范围．

解答 解：（1）根据题意，设BC边的中点D关于∠B平分线的对称点为F（a，b），
则k_DF=-$\frac{1}{{k}_{BE}}$，即$\frac{b-0.5}{a}$=-5①，
又DF的中点（$\frac{a}{2}$，$\frac{b+0.5}{2}$）在直线x-5y+9=0上，
∴$\frac{a}{2}$-$\frac{5（b+0.5）}{2}$+9=0②，
由①、②组成方程组，解得a=-0.5，b=3；
∴点P（-0.5，3）；
∴直线AB的方程为$\frac{x+2}{-0.5+2}$=$\frac{y-4}{3-4}$，
化简得2x+3y=8，
再由$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=8}\\{x-5y+9=0}\end{array}\right.$，
解得x=1，y=2，
∴点B（1，2）；
又边BC的中点坐标为（0，0.5），
∴点C（-1，-1）；
∴点C到直线AB的距离为d=$\frac{|2×（-1）+3×（-1）-8|}{\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}}$=$\sqrt{13}$，
又|AB|=$\sqrt{{（1+2）}^{2}{+（2-4）}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=$\frac{13}{2}$；
（2）△ABC中，|AB|=$\sqrt{13}$，|BC|=$\sqrt{13}$，|AC|=$\sqrt{26}$，
∴△ABC是直角三角形；
∴斜边AC的中点为M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴△ABC的外接圆方程为${（x+\frac{3}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{3}{2}）}^{2}$=$\frac{13}{2}$；
又$\frac{2y+3}{2x+3}$=$\frac{y-（-\frac{3}{2}）}{x-（-\frac{3}{2}）}$，
∴上式可以看作圆M上的点P（x，y）与定点Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）连线的斜率，
设PQ的斜率为k，则PQ的直线方程为y+$\frac{3}{2}$=k（x+$\frac{3}{2}$），
即kx-y+$\frac{3}{2}$k-$\frac{3}{2}$=0，
则点M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）到PQ的距离为d=r；
即$\frac{|-\frac{3}{2}k-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}k-\frac{3}{2}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{65}}{13}$；

由图形得，k的取值范围是{k|k≤-$\frac{\sqrt{65}}{13}$，或k≥$\frac{\sqrt{65}}{13}$}．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，考查了点关于直线对称的应用问题，也考查了三角形的外接圆方程的应用问题，是综合性题目．