Question

如图，已知是椭圆的右焦点；圆与轴交于两点，其中是椭圆的左焦点.

（1）求椭圆的离心率；
（2）设圆与轴的正半轴的交点为，点是点关于轴的对称点，试判断直线与圆的位置关系；
（3）设直线与圆交于另一点，若的面积为，求椭圆的标准方程.

Answer 1

（1）；（2）相切；（3）.

试题分析：（1）将点代入圆的方程，得出与的等量关系，进而求出椭圆的离心率；（2）先求出点、的坐标，进而求出直线的斜率，通过直线的斜率与直线的斜率的乘积为，得到，进而得到直线与圆的位置关系；（3）通过为的中位线得到与的面积，从而求出的值，进而求出与的值，从而确定椭圆的标准方程.
试题解析：（1）圆过椭圆的左焦点，把代入圆的方程，得，
故椭圆的离心率；
（2）在方程中令得，可知点为椭圆的上顶点，
由（1）知，，故，，故，
在圆的方程中令可得点坐标为，则点为，
于是可得直线的斜率，而直线的斜率，
，直线与圆相切；
（3）是的中线，，
，从而得，，椭圆的标准方程为.