Question

已知椭圆C：的右焦点为F，准线方程为在椭圆C上且|PF|=．
（I）求椭圆C的方程； 
（II）已知圆O：x²+y²=1的一条切线与椭圆C相交于A、B两点，且切线AB与圆D的切点Q在y轴右侧，求△AQF周长的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）题目给出了椭圆的准线方程，则有，给出了点P的横坐标可求点P到右准线的距离，又给出了点P到右焦点的距离，则可得到椭圆的离心率，由准线方程和离心率的值联立可求a、b、c，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出圆的切线与椭圆的一个交点A，在直角三角形OQA中把|AQ|用A到原点距离与圆的半径表示，结合点A在椭圆上把
|AQ|化简，由焦半径公式表示出|AF|，可求得|AQ|+|AF|为定值，要使△AQF的周长最小，则只要|QF|最小即可，显然当Q是圆与x轴的交点时|QF|最小，则最小值可求．
解答：解：（Ⅰ）由准线方程得①，因为点P的横坐标为，所以点P到右准线的距离为，
又P点到右焦点的距离|PF|=，所以②，联立①②得，a=2，c=，又b²=a²-c²，∴b=1．
故椭圆C的方程为；
（Ⅱ）如图，

设点A（x，y），则|AQ|=，
又由于点A在椭圆上，则，所以，
所以|AQ|=  （x＞0，因为切点Q在y轴右侧），
令由焦半径公式可得|AF|=，
于是|AQ|+|AF|=．
要使△AQF的周长最小，则只要|QF|最小即可，
显然当Q的坐标为（1，0）时，|QF|最短，为．
所以，△AQF周长的最小值为．
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的关系，采用了设而不求的方法，运用了整体运算思想，求三角形面积最小值时运用了数学转化思想，题目综合考查了学生综合思维能力和灵活计算能力，属难题．