Question

已知椭圆内有圆，如果圆的切线与椭圆交A、B两点，且满足（其中为坐标原点）．
（1）求证：为定值；
（2）若达到最小值，求此时的椭圆方程；
（3）在满足条件（2）的椭圆上是否存在点P，使得从P向圆所引的两条切线互相垂直，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）方法1：设圆的切线的切点坐标为，则切线的方程为，与椭圆方程联立消去得：．
设，因，所以，又，，所以．（*）
将代入（*）得
，
因，因此，所以（定值）.
方法2：设切线的方程为，则有
，
所以.
因，所以，即
（定值）．
（2）因，
所以．
当时取到最小值，此时椭圆的方程为．
（3）如果存在满足条件的点P，则向圆引两条切线，切点分别为M、N，连结OM、ON，则，如果，则四边形OMPN为正方形，所以，因为椭圆上到中心最近的点为短轴的端点，距离为，故存在四个点满足条件，其坐标为，即．

略