题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ sinωx，cosωx）， $数学公式$ =（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ，若f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）当0＜x≤ $数学公式$ 时，求f（x）的值域

解：（Ⅰ）f（x）= $\text{[math]}$ sinωxcosωx+cos²ωx（2分）
= $\text{[math]}$ sin2ωx+ $\text{[math]}$ （1+cos2ωx）
=sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （4分）
∵ω＞0，∴T=π= $\text{[math]}$ ，∴ω=1（6分）
（Ⅱ）由（1），得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，
∴0＜x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （9分）
∴f（x）∈[1， $\text{[math]}$ ]（12分）
分析：（I）由函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 转化为sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，利用周期公式求得ω；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由0＜x≤ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，再利用整体思想求解．
点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．