Question

【题目】设椭圆M： 的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。

（1）求椭圆M的方程；

（2）已知，是椭圆M的下焦点，在椭圆M上是否存在点P，使的周长最大？若存在，请求出周长的最大值，并求此时的面积；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率为

∵椭圆M内切于圆得解。

（2）椭圆的焦点为，由椭圆的定义得：

的周长为

当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。

∴在椭圆M上存在点P，使的周长取得最大值，

直线的方程为，由 ∵点P在线段的延长线上，∴点P的坐标为，再求解的面积。

（1）∵双曲线的离心率为，∴椭圆M的离心率为

∵椭圆M内切于圆

得： 所求椭圆M的方程为 ．

（2）椭圆M的上焦点为，由椭圆的定义得：

的周长为

当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。

∴在椭圆M上存在点P，使的周长取得最大值，

直线的方程为，由

∵点P在线段的延长线上，∴点P的坐标为，

的面积。