题目内容
4．在直角坐标系中，已知：A（cosx，sinx），B（1，1），O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|2．（Ⅰ）求f（x）的对称中心的坐标及单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x0）=3+$\sqrt{2}$，x0∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，求tanx0的值．
分析 （I）由已知可得$\overrightarrow{OC}$=（1+cosx，1+sinx），进而由f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|2结合和差角公式，可将f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而得到函数图象的对称中心及单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x0）=3+$\sqrt{2}$，则sin（x0+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，结合x0∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，可得x0，进而得到答案．
解答 解：∵A（cosx，sinx），B（1，1），$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（1+cosx，1+sinx）-------2分
∴f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|2=（1+cosx）2+（1+sinx）2=3+2（sinx+cosx）=3+2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）…4分
（Ⅰ）由x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z得：x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（x）的对称中心是（kπ-$\frac{π}{4}$，3）k∈Z，…6分
由x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，k∈Z，
∴f（x）的单调递减是[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，k∈Z…8分
（Ⅱ）∵f（x0）=3+2$\sqrt{2}$sin（x0+$\frac{π}{4}$）=3+$\sqrt{2}$，
∴sin（x0+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x0∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，即x0+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，π]，
∴x0+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，
∴x0=$\frac{7π}{12}$．
∴tanx0=tan（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$=-2-$\sqrt{3}$-----12分
点评 本题考查的知识点是向量的模，正弦型函数的图象和性质，三角函数的求值，难度中档．
如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E是PC上不重合的两点，F，H分别是PA，PB上的点，且与点P不重合，判断EF和DH的位置关系，并说明理由．
在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2，AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
如图所示，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，若P是棱AC上一动点，则BP+PE的最小值为（ ）| A． | 3 | B． | $\sqrt{7}$ | C． | 1+$\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{5}$ |