Question

在平面直角坐标系中，已知曲线: ，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为.
（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.

Answer 1

（1）,;(2)当时．

试题分析：
解题思路：（1）利用直线与椭圆的参数方程与普通方程的互化公式求解即可；(II)利用点到直线的距离公式转化从三角函数求最值即可求解.
规律总结：参数方程与普通方程之间的互化，有公式可用，较简单；往往借助参数方程研究直线与椭圆的位置关系或求最值.
试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为，  
由题意知曲线的直角坐标方程为，      
∴曲线的参数方程为（为参数）.      
（2）设，则点到直线的距离
，       
当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，
此时.