Question

已知四边形ABCD，AB=AD=

2

，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=

3

，如图所示．
（1）求证：A′C⊥BD；
（2）求二面角D-A′B-C的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）取BD的中O点，连CO，A′O，根据等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面A′CO，进而根据线面垂直的性质得到A′C⊥BD；
（2）取A′B、A′C的中点M、N，连DM，MN，DN，可证得△A′BD是正三角形，△A′CD和△A′BC是直角三角形，根据二面角的定义，可得∠DMN即二面角D-A′B-C的平面角，解三角形，可求二面角D-A′B-C的余弦值的大小．

解答：证明：（1）取BD的中O点，连CO，A′O，
∵A′B=A′D=

2

，BC=CD=1，
∴CO⊥BD，A′O⊥BD，
又∵CO∩A′O=O，CO，A′O?平面A′CO
∴BD⊥平面A′CO，
又∵A′C?平面A′CO，
∴A′C⊥BD
（2）∵BC⊥CD，BC=CD=1
∴BD=

2

，
∴△A′BD是正三角形，
取A′B、A′C的中点M、N，连DM，MN，DN，
则DM⊥A′B，
又∵A′C=

3

，A′B=

2

，BC=1，
∴A′B²+BC²=A′C²，A′D²+DC²=A′C²
即BC⊥A′B，CD⊥A′D，
∵MN∥BC，
∴MN⊥A′B，
所以∠DMN即二面角D-A′B-C的平面角
∵DM=

6

2

，DN=

3

2

，
∴cos∠DMN=

6

3

，即二面角D-A′B-C的余弦值为

6

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，解答（1）的关键是熟练掌握空间线面垂直与线线垂直之间的相互转化，解答（2）的关键是求出二面角的平面角．