Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，是线段EF的中点.

    (I)求证：AM平面BDF；

    (Ⅱ)求二面角A―DF―B的大小；

    (Ⅲ)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°。

Answer 1

解：(I)设AC交BD于O．连OM，OF则OM∥CE．正方形ABCD中，AB=.

∴AC=2．∴AO=1．

    又平面ABCD⊥平面ACEF,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD，∴EC ⊥CD.

    又四边形AOMF为正方形，

又因为平面ACEF,.

又

(Ⅱ)平面ADF的法向量为m=(1，0,0)，平面BDF的法向量为

 nm?n=.

 ∵|m|=1,|n|=m , n>=

     ∴二面角A―DF―B的大小为60°   

(Ⅲ)设

   

∵PF与CB成60°角，∴

    解得，则点P是AC中点时，合题意．