Question

设a∈R，函数f（x）=-（x-1）²+2（a-1）ln（x+1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x-1，求a的值；
（Ⅱ）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）利用导数的几何意义，根据f′（0）=4建立等式关系，求出a的值即可；
（II）根据导数的正负对a进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′(x)=-2x+2+

2a-2

x+1

=

-2x2+2a

x+1

因为f′（0）=4，所以a=2．
（Ⅱ）解：当a＜0时，因为x+1＞0，-2x²+2a＜0
所以f′（x）＜0，故f（x）（-1，+∞）上是减函数；       
当a=0时，当x∈（-1，0）时，f′(x)=

-2x2

x+1

＜0，故f（x）在（-1，0上是减函数，
x∈（0，+∞）时，f′(x)=

-2x2

x+1

＜0，故f（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为函数f（x）在（-1，+∞），上连续，所以f（x）在（-1，+∞），上是减函数；                
当0＜a＜1时，f′(x)=

-2x2+2a

x+1

=0，得x=

a

，或x=-

a

x变化时，f′（x），f（x）的变化如情况下表：

x	(-1，- a )	- a	(- a ， a )	a	( a ，+∞)
f′（x）	_	0	+	0	_
f（x）	↓	极小f( - a )	↑	极大f( a )	↓

所以f（x）在(-1，-

a

)上为减函数、(

a

，+∞)上为减函数；f（x）(-

a

，

a

)上为增函数．（13分）
综上，a≤0时，f（x）在（-1，+∞），上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x）(-1，-

a

)上为减函数、(

a

，+∞)上为减函数；f（x）(-

a

，

a

)上为增函数．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程的斜率，涉及导数的几何意义，以及函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于中档题．