Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件“x=2是函数y=f（x）的极值点”可知f'（2）=0，解出a，需要验证在x=2处附近的导数符号有无改变；
（2）由在[0，2]上是单调减函数可转化成在[0，2]上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，
所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
即a=1．（6分）
（Ⅱ）由题设，g′（x）=e^x（ax³-3x²+3ax²-6x），又e^x＞0，
所以，?x∈（0，2]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
这等价于，不等式a≤

3x2+6x

x3+3x2

=

3x+6

x2+3x

对x∈（0，2]恒成立．
令h(x)=

3x+6

x2+3x

（x∈（0，2]），
则h′(x)=-

3(x2+4x+6)

(x2+3x)2

=-

3[(x+2)2+2]

(x2+3x)2

＜0，
所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，
所以h（x）的最小值为h(2)=

6

5

．
所以a≤

6

5

．即实数a的取值范围为(-∞，

6

5

]．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．