题目内容
设a∈R，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则以下结论正确的是（ ）
分析：先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f（-x）=f（x）建立等式关系，解之即可．
解答：解：对f（x）=x3+ax2+（a-3）x求导，得
f′（x）=3x2+2ax+a-3
又f′（x）是偶函数，即f′（x）=f′（-x）
代入，可得
3x2+2ax+a-3=3x2-2ax+a-3
化简得a=0
∴f′（x）=3x2-3
令f′（x）=0，即3x2-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，1）
∴函数在x=1时取得极小值为：-2，极大值为2
故选B．
f′（x）=3x2+2ax+a-3
又f′（x）是偶函数，即f′（x）=f′（-x）
代入，可得
3x2+2ax+a-3=3x2-2ax+a-3
化简得a=0
∴f′（x）=3x2-3
令f′（x）=0，即3x2-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，1）
∴函数在x=1时取得极小值为：-2，极大值为2
故选B．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间与极值，解题的关键是利用函数的性质求出函数的解析式．
练习册系列答案
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设a∈R，函数f（x）=ex-ae-x的导函数为f′（x），且f′（x）是奇函数，则a=（ ）
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