Question

若{a_n}是等比数列，a2=2，a5=

1

4

，则a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=

32

3

(1-

1

4n-1

)

．

Answer 1

分析：用等比数列的性质可求得等比数列{a_n}的公比，再构造数列b_n=a_n•a_n+1，利用等比数列的定义证明{b_n}是等比数列，再求和即可．

解答：解：∵{a_n}是等比数列，a2=2，a5=

1

4

，设其公比为q，
则q3=

a5

a2

=

1

8

，q=

1

2

，令b_n=a_n•a_n+1，

bn

bn-1

=

an+1

an-1

=q2=

1

4

（n≥2）又a1=

a2

q

=4，
∴{b_n}是首项为8，公比为

1

4

的等比数列，设其前n项和为S_n，则S_n-1=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=

32

3

(1-

1

4n-1

)；
故答案为：

32

3

(1-

1

4n-1

)．

点评：本题考查等比数列的性质，难点在于构造新数列b_n=a_n•a_n+1，证明{b_n}为等比数列，再求和，综合性强，属于中档题．