Question

设椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

 
（1）求曲线C₁，C₂的标准方程；
（2）设直线与椭圆C₁交于不同两点M、N，且。请问是否存在直线过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1) ；
(2)存在，

（1）由题意（-2，0）一定在椭圆C₁上。设C₁方程为，则.
椭圆C₁上任何点的横坐标
所以也在C₁上，从而，C₁的方程为.   4分
从而，（4，-4）一定在C₂上，设C₂的方程为
即C₂的方程为 （2）假设直线过C₂的焦点F（1，0）。当的斜率不存在时，则
此时，与已知矛盾。  当的斜率存在时设为，则的方程为代入C₁方程并整理得：
 设，则

，，
存在符合条件的直线且方程为