Question

【题目】已知（ +1）m= xm+ym ， 其中m，xm ， ym∈N* ．
（1）求证：ym为奇数；
（2）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．已知数列{an}的通项公式为an=[ n]，求证：存在{an}的无穷子数列{bn}，使得对任意的正整数n，均有bn除以4的余数为1．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵（ +1）m= xm+ym，

∴（ +1）m+1=（ xm+ym）（ +1）= （xm+ym）+（2xm+ym）

得ym+1=2xm+ym，即ym+1与ym同奇偶，

而当m=1时，y1为奇数；

∴ym为奇数

（2）证明：由二项式定理得（ ﹣1）m= xm﹣ym，

则2xm2﹣ym2=1，即2xm2=ym2+1＞ym2，

∴ym4＜2xm2ym2=ym2（ym2+1）＜（ym2+1）2，

从而有ym2＜ xmym＜ym2+1，

令n=xmym，则bn=[ n]=[ xmym]=ym2，

由（1）知ym为奇数，

∴bn除以4的余数为1

【解析】（1）根据条件得（ +1）m+1= （xm+ym）+（2xm+ym），判断ym+1与ym同奇偶，进行判断即可．（2）由二项式定理得（ ﹣1）m= xm﹣ym ， 建立方程组进行转化求解证明即可．