Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点.

（1）证明：MO∥平面PAB；

（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）推导出O是BD中点，从而OM∥PB，由此能证明OM∥平面PAB.
（2）推导出四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.

（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点.

∴O是BD中点，∴OM∥PB，

∵OM平面PAB，PB平面PAB，

∴OM∥平面PAB；

（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD且PO＝4，

∴四边形ABCD是菱形，

以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），D（0，，0），P（0，0，4），M（0，，2），

（﹣1，，2），

平面ABCD的法向量（0，0，1），

设直线AM与平面ABCD所成角为θ，

则sinθ.

∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为.