Question

中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且

CF1

•

CF2

=2．
（1）求椭圆E的方程．
（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

分析：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则

CF1

=(2+c，2)，

CF2

=(2-c，2)，由

CF1

•

CF2

=2，知4-c²+4=2，即c²=6．由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，由

x2 12 + y2 6 =1 y=-x+m

，得3x²-4mx+2m²-12=0，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4m

3

，x1•x2=

2m2-12

3

，圆P的圆心为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），半径r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，当圆P与y轴相切时，r=|

x1+x2

2

|，由此能求出直线l的方程和圆P的方程．

解答：解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则

CF1

=(2+c，2)，

CF2

=(2-c，2)，
∵

CF1

•

CF2

=2，∴4-c²+4=2，
∴c²=6．
设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

a2-6

=1，
把C（2，2）代入，得

4

a2

+

4

a2-6

=1，
整理，得a⁴-14a²+24=0，
解得a²=12，或a²=2（舍）
∴椭圆E的方程为

x2

12

+

y2

6

=1．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
由

x2 12 + y2 6 =1 y=-x+m

，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²）＞0，
得m²＜18．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4m

3

，x1•x2=

2m2-12

3

，
圆P的圆心为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
半径r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，
当圆P与y轴相切时，r=|

x1+x2

2

|，
则2x1x2=

(x1+x2)2

4

，
即

2(2m2-12)

3

=

4m2

9

，解得m²=9＜18，
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，
此时，x₁+x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4，
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，
圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4．

点评：本题考查直线方程、圆的方程和椭圆方程的求法，具体涉及到直线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆和圆的简单性质等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．