Question

【题目】（改编）已知数列满足， ， .

（1）若， ， ，求实数的取值范围；

（2）设数列满足： ， ，设，若， ，求的取值范围；

（3）若成公比的等比数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公比.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的最大值为1999，此时公比.

【解析】试题分析：（1）依题意得 ；（2）令 ，则问题转化为： 是公比为的等比数列，

，然后利用分类讨论思想求得 ；（3）令

当 时，

的最大值为此时.

试题解析：

（1）依题意， ，∴，

又，∴，综上可得： ；

（2）令，则问题转化为： 是公比为的等比数列， ，

设，若，求的范围.

由已知得： ，又，∴

当时， ， ，即，成立

当时， ， ，即，

∴，此不等式即，∵，

∴，

对于不等式，令，得，解得，

又当时， ，

∴成立，

∴

当时， ， ，即

即， ， ，

∵

∴时，不等式恒成立，综上， 的取值范围为.

（3）令，则是首项为1，公差为的等差数列，

满足，显然，当， 时，是一组符合题意的解，

∴，则由已知得：

∴，当时，不等式即， ，

∴， ，

∴时， ，

解得，∴，

∴的最大值为1999，此时公差，

此时公比.