题目内容

已知向量
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=(cosx，-1)
（1）当
a
∥
b
时，求2cos2x-sin2x的值；
（2）求f(x)=(
a
+
b
)•
b
在[-
π
2
，0]上的值域．
分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2x-sin2x即可
（2）先表示出f(x)=(
a
+
b
)•
b
在=
2
2
（sin2x+
π
4
），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值．
解答：解：（1）∵
a
∥
b
，
∴
3
2
cosx+sinx=0，
∴tanx=-
3
2
，（3分）
∴2cos2x-sin2x=
2cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
2-2tanx
1+tan2x
=
20
13
．（6分）
（2）∵
a
+
b
=(sinx+cosx，
1
2
)，
∴f(x)=(
a
+
b
)•
b
=
2
2
sin(2x+
π
4
)，（8分）
∵-
π
2
≤x≤0，∴-
3π
4
≤2x+
π
4
≤
π
4
，
∴-1≤sin(2x+
π
4
)≤
2
2
，（10分）
∴-
2
2
≤f(x)≤
1
2
，（12分）
∴函数f（x）的值域为[-
2
2
，
1
2
]．（13分）
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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