Question

20．某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数f（t）（万人）近似地满足f（t）=4+$\frac{1}{t}$，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）=125-|t-25|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益W（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N₊）的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件直接写出，该城市的旅游日收益W（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N₊）的函数关系式；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可求该城市旅游日收益的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$W（t）=f（t）g（t）=（{4+\frac{1}{t}}）（{125-|{t-25}|}）$=$\left\{\begin{array}{l}（{4+\frac{1}{t}}）（{100+t}），1≤t≤25\\（{4+\frac{1}{t}}）（{150-t}），25＜t≤30\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}401+4t+\frac{100}{t}，1≤t≤25\\ 599+\frac{150}{t}-4t，25＜t≤30\end{array}\right.$…．（5分）
（Ⅱ）①当t∈[1，25]时，W（t）=401+4t+$\frac{100}{t}$≥401+2$\sqrt{4t•\frac{100}{t}}$=441（当且仅当$4t=\frac{100}{t}$时取等号）
所以，当t=5时，W（t）取得最小值441．…．（8分）
②当t∈（25，30]时，因为W（t）=$599+\frac{150}{t}-4t$递减，
所以t=30时，W（t）有最小值W（30）=484＞441，…．（11分）
综上，t∈[1，30]时，旅游日收益W（t）的最小值为441万元．…．（12分）

点评 本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．