Question

点M(x，y)与定点(3，0)的距离和它到定直线l：x=的距离的比是常数，求点M的轨迹.

Answer 1

思路分析：本题主要考查椭圆的第二定义.在解决一类“一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e”的问题时，根据第二定义解题很方便.

解：如下图设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合P={M|}.

由此得.

将上式两边平方并化简，得16x²+25y²=400，即=1.

所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、8的椭圆.

    深化升华 椭圆=1的离心率为e=.通过此例可以看出椭圆=1上任意一点M到焦点F(3，,0)的距离与M到直线l：x=的距离的比值为离心率e.一般地，点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x=的距离的比是常数(a＞c＞0)，点M的轨迹是椭圆，方程为=1(b²=a²-c²).

因此，椭圆可以看作动点M到定点F的距离与它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的M的轨迹.这就是椭圆的第二定义.