Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，D、E分别为CC₁、A₁B₁的中点．
（1）求证C₁E∥平面A₁BD；
（2）求证AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-C₁DE的体积．

Answer 1

解：（1）设AB₁与A₁B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA₁B₁的中位线，∴EF∥=A₁A．
∵C₁D∥=A₁A，∴EF∥=C₁D，则四边形EFDC₁为平行四边形，∴DF∥C₁E．
∵C₁E?平面A₁BD，DF?平面A₁BD，∴C₁E∥平面A₁BD．
（2）取BC的中点H，连接AH，B₁H，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，知AH⊥BC，
∵B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AH．∵B₁B∩BC=B，∴AH⊥平面B₁BCC₁．∴AH⊥BD．
在正方形B₁BCC₁中，∵tan∠BB₁H=tan∠CBD=，∴∠BB₁H=∠CBD．则B₁H⊥BD．
∵AH⊥∩B₁H=H，∴BD⊥平面AHB₁．∴BD⊥AB₁．
在正方形A₁ABB₁中，∵A₁B⊥AB₁．而A₁B∩BD=B，∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）∵E为AB的中点，∴．
分析：（1）要证C₁E∥平面A₁BD；只须证明直线平行平面内的一条直线，图中DF即可．
（2）要证AB₁⊥平面A₁BD；只须证明只须垂直平面内的两条相交直线A₁B、DF 即可，前者利用正方形证明，后者△A₁BD说明是等腰三角形．
（3）求三棱锥A₁-C₁DE的体积．利用等底面面积等高体积相等，转化为D-A₁EC₁的体积，再转化为D-A₁B₁C₁的体积求解即可．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，考查转化思想，是中档题．