Question

已知二项式（

x

2

+

1

2 x

)

n

(n∈N*)ⁿ（n∈N^*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为

45

256

．

Answer 1

分析：由

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=56，求得n，再利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的常数项．

解答：解：由题意可得前三项的二项式系数和是

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=56，即 1+n+

n(n-1)

2

=56，
解得 n=10．
由于二项式（

x

2

+

1

2 x

)

n

(n∈N*)ⁿ（n∈N^*）展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 10

•x^20-2r•(

1

2

)r•x-

r

2

=(

1

2

)r•

C

r 10

•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=0，求得 r=8，故展开式中的常数项为 (

1

2

)8•

C

8 10

=

45

256

，
故答案为

45

256

．

点评：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求得n是关键，考查分析
运算能力，属于中档题．