Question

设x=m和x=n是函数f(x)=lnx+

1

2

x2-(a+2)x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．
（Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范围；
（Ⅱ） 若a≥

e

+

1

e

-2，求f（n）-f（m）的最大值．
注：e是自然对数的底数．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+x-(a+2)=

x2-(a+2)x+1

x

．
依题意，方程x²-（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．
故

(a+2)2-4＞0 a+2＞0

，∴a＞0，
并且m+n=a+2，mn=1．
所以，f(m)+f(n)=lnmn+

1

2

(m2+n2)-(a+2)(m+n)
=

1

2

[(m+n)2-2mn]-(a+2)(m+n)=-

1

2

(a+2)2-1＜-3
故f（m）+f（n）的取值范围是（-∞，-3）．   …（7分）
（Ⅱ）当a≥

e

+

1

e

-2时，(a+2)2≥e+

1

e

+2．
若设t=

n

m

  (t＞1)，则(a+2)2=(m+n)2=

(m+n)2

mn

=t+

1

t

+2≥e+

1

e

+2．
于是有t+

1

t

≥e+

1

e

，∴(t-e)(1-

1

te

)≥0，∴t≥e
∴f(n)-f(m)=ln

n

m

+

1

2

(n2-m2)-(a+2)(n-m)=ln

n

m

+

1

2

(n2-m2)-(n+m)(n-m)

=ln n m - 1 2 (n2-m2)=ln n m - 1 2 ( n2-m2 mn )=ln n m - 1 2 ( n m - m n )=

lnt-

1

2

(t-

1

t

)
构造函数g(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)（其中t≥e），则g′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0．
所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，g(t)≤g(e)=1-

e

2

+

1

2e

．
故f（n）-f（m）的最大值是1-

e

2

+

1

2e

．        …（15分）