Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=

1

2

上，且

AM

=

MB

．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

成立，求c和m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出M的坐标，求出

AM

，

MB

．利用

AM

=

MB

．求出x₁+x₂的值，再用f(x)=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

求出y₁+y₂的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=-2，化简S_n=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，可求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用a_n=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，求出T_n的表达式，
结合不等式

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

，推出c，m的范围，正整数c、m，可得c和m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵点M在直线x=

1

2

上，设M(

1

2

，yM)．又

AM

=

MB

，
即

AM

=(

1

2

-x1，yM-y1)，

MB

=(x2-

1

2

，y2-yM)，
∴x₁+x₂=1．（2分）
①当x₁=

1

2

时，x₂=

1

2

，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②当x₁≠

1

2

时，x₂≠

1

2

，
y₁+y₂=

2x1

1-2x1

+

2x2

1-2x2

=

2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

1-2(x1+x2)+4x1x2

=

2(1-4x1x2)

4x1x2-1

=-2；
综合①②得，y₁+y₂=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．
∴f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=-2，k=1，2，3，，n-1．（7分）
n≥2时，S_n=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)++f(

n-1

n

)，①
S_n=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+f(

n-3

n

)++f(

1

n

)，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．
n=1时，S₁=0满足S_n=1-n．
∴S_n=1-n．（10分）
（Ⅲ）a_n=2Sn=2^1-n，T_n=1+

1

2

++(

1

2

)n-1=2-

2

2n

.

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

?

2(Tm-c)-(Tm+1-c)

2(Tm+1-c)

＜0?

c-(2Tm-Tm+1)

c-Tm+1

＜0．T_m+1=2-

1

2m

，2T_m-T_m+1=4-

4

2m

-2+

1

2m

=2-

3

2m

，
∴

1

2

≤2-

3

2m

＜c＜2-

1

2m

＜2，c、m为正整数，
∴c=1，
当c=1时，

2- 3 2m ＜1 2- 1 2m ＞1

，
∴1＜2^m＜3，
∴m=1．（14分）

点评：本题考查分段函数，数列的求和，数列递推式，相等向量与相反向量，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．