Question

【题目】已知集合.若为集合中构成等差数列的个元素，求的最大值.

Answer 1

【答案】6

【解析】

（1）显然，、、、、

、 这六个数在集合中，且构成等差数列.

（2）用反证法证明：集合中任意七个不同的数均不能构成等差数列.

设为集合中构成等差数列的7个不同的元素，其公差为.

由集合中元素的特性，知集合中任意一个元素均不是7的倍数.

于是，由抽屉原理，知这七个数中存在两个数，它们被7除的余数相同，其差能被7整除.

不妨设能被7整除.则.

记，设，

其中，、、 为不超过6的正整数.

则 ，其中，.

由，，

知 ，即公差只能为.

因为，且，所以，除以7后的余数各不相同，分别为1,2，…，6中的一个.

因此，存在，使得能被7整除.

设 .则

.

于是，的七进制表示中，7的系数（即从左到右第2位）为0，与 矛盾.

从而，集合 中任意七个不同的数均不能构成等差数列.

因此，的最大值为6.