Question

已知抛物线C：y=x²，过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为-，求点M的坐标（x，y）；
（2）设P（-2，4）为C对称轴上的一点，在C上一定存在点，使得C在该点的法线通过点P．试求出这些点，以及C在这些点的法线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切线和法线垂直，则其斜率之积等于-1，可得M处的切线的斜率k=2，再根据导数的几何意义，结合已知即可求得点M的坐标；
（2）分x=-2和x≠-2两种情况讨论，若x=-2，则C上点M处的切线斜率k=0，若x≠-2，则过点M（x，y）的法线方程为：．分别求得法线方程即可．
解答：解：（1）函数的导数y′=2x+4，点（x，y）处切线的斜率k=2x+4、
∵过点（x，y）的法线斜率为，∴（2x+4）=-1，解得x=-1，．故点M的坐标为（-1，）．
2设M（x，y）3为C上一点，
（2）若x=-2，则C上点M处的切线斜率k=0，
过点M的法线方程为x=-2，法线过点P（-2，4）；
若x≠-2，则过点M（x，y）的法线方程为：．
若法线过点P（-2，4），则，
解得x=0，，得x+4y-14=0，或者x=-4，，得x-4y+18=0．
综上，在C上有点（0，），（-4，）及，
在该点的法线通过点P，法线方程分别为x+4y-14=0，x-4y+18=0，x=-2
点评：本题通过曲线的切线和法线问题，考查了导数的运算和几何意义，同时综合运用了分类讨论的数学思想，难度较大．