题目内容

已知四棱锥P-ABCD，PB^AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．

    （1）求点P到平面ABCD的距离；

    （2）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

答案：
解析：

（1）作PO^平面ABCD，垂足为点O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连PE．∵ AD^PB，∴ AD^OB，∵ PA=PD，∴ OA=OD．于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴ PE^AD．

    由此可知ÐPEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角．∴ ÐPEB=120°

    ÐPEO=60°，由已知可求得PE=．

    ∴ ．即点P到平面ABCD的距离为．

    （2）取PB中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，

    则AG^PB，FG∥BC，FG=BC

    ∵ AD^PB，∴ BC^PB，FG^PB

    ∴ ÐAGF是所求二面角的平面角．

    ∵ AD^面POB，∴ AD^EG．

    又∴ PE=BE，∴ EG^PB，且ÐPEG=60°．

    在RtDPEG中，EGPE×cos60°=．

    在RtDGAE中，AE=AD=1，于是tanÐGAE=

    又ÐAGF=p-ÐGAE

    ∴ 所求二面角大小为p-arctan．


练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明EF⊥平面PBC；
（III）点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，求动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的体积．
精英家教网如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求证：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值为
10
5
，求PB的长．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求证：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直线PA与平面ABCD所成角的正切值为
5
2
，PO=2，求四棱锥P-ABCD的体积．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明EF⊥平面PBC；
（III）点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，求动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的体积．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网