Question

已知椭圆的离心率为．
（I）若原点到直线x+y-b=0的距离为，求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．
（i）当，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知b=2，a²=12，b²=4．由此可知椭圆的方程为．
（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x²+3y²=3b²，AB：，所以．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，所以b=1．
（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立．同上经可知λ²+μ²=1．
解答：解：（I）∵，∴∵，∴∵，∴解得a²=12，b²=4．
椭圆的方程为．（4分）
（II）（i）∵，∴．椭圆的方程可化为：x²+3y²=3b²①
易知右焦点，据题意有AB：②
由①，②有：③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴b=（18分）
（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立．
设M（x，y），∵（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又点M在椭圆上，∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²④
由③有：
则3b²-9b²+6b²=0⑤
又A，B在椭圆上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²⑥
将⑥，⑤代入④可得：λ²+μ²=1．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．