Question

【题目】已知原点到动直线的距离为2，点到，的距离分别与到直线的距离相等．

（1）证明为定值，并求点的轨迹方程；

（2）是否存在过点的直线，与点的轨迹交于两点，为线段的中点，且？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析，．（2）见解析，或．

【解析】

（1）根据题意易证为定值，由，判定的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得椭圆方程；

（2）根据题意知直线的斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，由得出的取值范围，再由推得，有韦达定理即可得出直线的方程.

（1）设点到直线的距离分别为．

由已知，，，

又为的中点，

．

由椭圆定义可知，点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆．

，．．

点的轨迹方程为．

（2）假设直线存在，当的斜率不存在时，显然不成立

设，，．

由得

，或．

，．

，

．

．

．

．

解得或．

，且，

存在直线满足条件，直线的方程为或，即或．