Question

【题目】四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，.

（1）求证：；

（2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；

（2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积．

连接PF，BD,

∵是等边三角形，F为AD的中点，

∴PF⊥AD，

∵底面ABCD是菱形，，

∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，

∴BF⊥AD，

又PF，BF平面PBF，PF∩BF＝F，

∴AD⊥平面PBF，∵PB平面PBF，

∴AD⊥PB．

（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD平面PAD，

∴BF⊥平面PAD，又BF平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PF⊥平面ABCD，

连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又，∴CH=CF，

∴在△PFC中,过H作GHPF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH面GED，则面GED⊥平面ABCD，

此时CG=CP,

∴四面体的体积．

所以存在G满足CG=CP, 使平面平面，且.