Question

8．已知圆C：x²+y²-4x+3=0，
（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；
（2）直线l过点$N（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；
（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C₁，直线$y=k（x-\frac{5}{2}）$与曲线C₁只有一个交点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；
（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；
（3）求出轨迹C₁，直利用线$y=k（x-\frac{5}{2}）$与曲线C₁只有一个交点，求k的值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-4x+3=0，即 （x-2）²+y²=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．
当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0，
所以，圆心到切线的距离等于半径，即$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，此时，切线为3x-4y-1=0．
综上可得，圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0…（3分）
（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x-y-1=0…（6分）
（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AP}=0$，∴化简得${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$…（9分）
由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C₁：${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$（x≠1）…（10分）
因为直线$y=k（x-\frac{5}{2}）$与曲线C₁只有一个交点，所以圆心到直线的距离d=$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$或k=0，
所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}或0$…（12分）

点评 本题考查求圆的切线方程的方法，考查轨迹方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题