Question

【题目】若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

（1）若具有性质，且， ，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列， ， ， 判断是否具有性质，并说明理由；

（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

Answer 1

【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．

【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解即可．

（2）根据的公差为， 的公比为，写出通项公式，从而可得．

通过计算， ， ， ，即知不具有性质．

（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．

试题解析：（1）因为，所以， ， ．

于是，又因为，解得．

（2）的公差为， 的公比为，

所以， ．

．

，但， ， ，

所以不具有性质．

[证]（3）充分性：

当为常数列时， ．

对任意给定的，只要，则由，必有．

充分性得证．

必要性：

用反证法证明．假设不是常数列，则存在，

使得，而．

下面证明存在满足的，使得，但．

设，取，使得，则

， ，故存在使得．

取，因为（），所以，

依此类推，得．

但，即．

所以不具有性质，矛盾．

必要性得证．

综上，“对任意， 都具有性质”的充要条件为“是常数列”．