Question

设f（x）=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）求证对任意非零实数x，都有

f(x)

x

＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于 f（x）=1-

2

2x+1

，设x₁＜x₂，计算 f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），可得函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）由于当x＞0时，2^x-1＞0，f（x）=

2x-1

2x+1

＞0；当x＜0时，2^x-1＜0，f（x）=

2x-1

2x+1

＜0，命题得证．

解答：解：（Ⅰ）由于 f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，设x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）由于当x＞0时，2^x-1＞0，f（x）=

2x-1

2x+1

＞0；当x＜0时，2^x-1＜0，f（x）=

2x-1

2x+1

＜0，
∴对任意非零实数x，都有

f(x)

x

＞0．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的性质应用，属于中档题．