Question

为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为4

3

米，∠GEM=∠HFN=

π

6

，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，

π

4

]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．
（1）试用α表示GH的长；
（2）求W关于α的函数关系式；
（3）求W的最小值及相应的角α．

Answer 1

分析：（1）先确定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的长；
（2）利用AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，即可求出W关于α的函数关系式；
（3）求导函数，确定函数的单调性，即可求出W的最小值及相应的角α．

解答：解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，GH=MN=

60

cosα

…（6分）
（2）W=(80+16

3

-60tanα)×1+

60

cosα

×2=80+16

3

-60

sinα

cosα

+120

1

cosα

=80+16

3

-60

sinα-2

cosα

．…（11分）
（3）设f(α)=

sinα-2

cosα

（其中0 ≤ α ≤ 

π

4

)，
则f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
列表

α	(0， π 6 )	π 6	( π 6 ， π 4 )
f'（α）	+	0	-
f（α）	单调递增	极大值	单调递减

所以当α=

π

6

时有f(α)max=-

3

，此时有Wmin=80+16

3

+60

3

=80+76

3

．
答：排管的最小费用为80+76

3

万元，相应的角α=

π

6

．…（16分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．