题目内容
放缩法
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值_________或_________，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
已知正项数列的前n项和满足：，
（1）求数列的通项和前n项和；
（2）求数列的前n项和；
（3）证明：不等式 对任意的，都成立．
【解析】第一问中，由于所以
两式作差，然后得到
从而得到结论
第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。
第三问中，
又
结合放缩法得到。
解：（1）∵ ∴
∴
∴ ∴ ………2分
又∵正项数列，∴ ∴
又n=1时，
∴ ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分
∴ …………………4分
∴ …………………5分
（2） …………………6分
…………………9分
（3）
…………………12分
，
∴不等式 对任意的，都成立．
已知数列的前项和为，且 (N*),其中．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明： ；
② 求证：.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，
所以利用放缩法，从此得到结论。
解：(Ⅰ)当时，由得. ……2分
若存在由得，
从而有，与矛盾，所以.
从而由得得. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵∴
∴.…………10分
证法二：，下同证法一. ……10分
证法三：（利用对偶式）设，，
则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
从而.
也即
的前n项和
满足：
，
和前n项和
的前n项和
；
对任意的
，
都成立．
，然后得到
得到结论
利用裂项求和的思想得到结论。
∴ 
∴
∴数列
…………………4分
…………………5分 
…………………6分
…………………9分
…………………12分
的前
项和为
，且
(
N*),其中
．
(
N*).
；
.
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
利用放缩法，从此得到结论。
时，由
得
. ……2分
由
得
，
，与
.
得
. ……6分
∴
.…………10分
，下同证法一.
……10分
，
，
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
时, 
,命题成立;
时,命题成立,即
,
时,
即
.