Question

已知a2+b2+c2=1，若a+b+

2

c≤|x+1|对任意实数a、b、c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：由柯西不等式，我们易结合a²+b²+c²=1，得到 (a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，再由 a+b+

2

c≤|x+1|对任意实数a，b，c恒成立，故 |x+1|≥(a+b+

2

c)max=2，解绝对值不等式，即可得到答案．

解答：解：∵(a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，
∴a+b+

2

c ≤2（5分）
又∵a+b+

2

c≤|x+1|对任意实数a，b，c恒成立，
∴|x+1|≥(a+b+

2

c)max=2
解得x≤-3或x≥1（10分）

点评：该题考查柯西不等式、绝对值不等式求解；解答关键是根据题中条件构造出(a+b+

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c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）后使用柯西不等式，是容易题．