Question

已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形,设D为AA₁的中点.

（1）作出该几何体的直观图并求其体积.

（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁.

（3）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论.

Answer 1

（1）解：由题意可知该几何体为直三棱柱,且它的直观图如图所示.

∵S_△ABC=,h=3,∴V=3.

（2）证明：连结B₁C交BC₁于E点,则E为B₁C、BC₁的中点,连结DE.

∵AD=A₁D,AB=A₁C₁,∠BAD=∠DA₁C₁=90°,

∴△ABD≌△DA₁C₁.∴BD=DC₁.∴DE⊥BC₁.

同理,DE⊥B₁C,又∵B₁C∩BC₁=E,∴DE⊥平面BB₁C₁C.又∵DE平面BDC₁,

∴平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁.

（3）解：取BC的中点P,连结AP,则AP∥平面BDC₁,

证明：连结PE,则PE∥AD,且PE=AD,∴四边形APED为平行四边形.

∴AP∥DE.又DE平面BDC₁,AP平面BDC₁,∴AP∥平面BDC₁.