Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC； 
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）通过证明AC⊥平面PBC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．
（ II）如图，以C为原点，$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CP}$分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设P（0，0，a）（a＞0），求出面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面EAC的法向量，利用$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CE}$=0，求出$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），利用向量的数量积求解，即可得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

解答 解：（I）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．-----------（4分）
（ II）解：如图，以C为原点，$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CP}$分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），-----------（6分）
$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），
$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），则
$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CP}$=0，$\overrightarrow{m}$为面PAC的法向量．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面EAC的法向量，则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CE}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+az=0\end{array}$取x=a，y=-a，z=-2，则$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依题意，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则a=1．-----------（10分）
于是$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-1）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{PA}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．-----------（12分）

点评 本题考查二面角以及直线与平面所成角的求法与应用，平面与平面垂直的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．