Question

已知动圆过定点(,0),且与直线x=相切,其中p＞0.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.

Answer 1

解:(1)如图,设M为动圆圆心,(,0)记为F,过点M作直线x=的垂线,垂足为N.

    由题意知:|MF|=|MN|,即动点M到定点F与定直线x=的距离相等,由抛物线定义知:点M的轨迹为抛物线,

其中F(,0)为焦点,x=为准线,所以轨迹方程为y²=2px(p＞0).

(2)如图,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由题意得x₁,x₂≠0.

    又直线OA、OB的倾斜角α、β满足α+β=,故0＜α,β＜,所以直线AB的斜率存在,否则OA、OB直线的倾斜角之和为π.

从而设直线AB方程为y=kx+b.显然x₁=,x₂=.

将y=kx+b与y²=2px联立消去x,得ky²-2py+2pb=0.

由韦达定理知y₁+y₂=,y₁y₂=.(*)

由α+β=,得1=tan=tan(α+β)＝

===.

将(*)式代入上式整理化简,得b=2p+2pk.此时,直线AB的方程可表示为y=kx+2p+2pk,

即k(x+2p)-(y-2p)=0,∴直线AB恒过定点(-2p,2p).