Question

如图所示，在面积为9的三角形ABC中，tanA=，且．

(1)建立适合的坐标系，求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；

(2)过D分别作AB，AC所在直线的垂线DE，DF(E，F为垂足)，求的值．

Answer 1

解：以点A为坐标原点，∠CAB的平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

设∠CA=．∵tanA=，∴tan=2，

    所以AC的方程为，AB的方程为．

    双曲线方程可设为：．

    设B()，C()，

    由得D()，

    ∴

    即    ①

    由tanA可得sinA=．

    又∵|AB|=，|AC|=

    ∴S_△ABC=

           =

           =．

即，代入①得16．

    ∴双曲线的方程为．

(2)由题设可知，

∴．

设D为()，则．

    则点D到AB，AC所在直线的距离为，．

  而．