题目内容
5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{n}$=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为（ ）| A． | 15 | B． | 14 | C． | 13 | D． | 12 |
分析 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值 $\frac{n}{2}$，代入|BF2|+|AF2|=16-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．，
解答 解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，
由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，
即有|BF2|+|AF2|=16-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2n}{4}$=$\frac{n}{2}$，
即为10=16-$\frac{n}{2}$，
解得n=12．
故选：D．
点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．
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