题目内容

已知a，b都是正数，求证：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，当且仅当a=b时等号成立．
证明：因为a＞0，b＞0
2ab
a+b
-
a+b
2
=
4ab-a2-2ab-b2
2(a+b)
=-
(a-b)2
2(a+b)
≤0?
2ab
a+b
≤
a+b
2
，
当且仅当a=b时取等号．（5分）(
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2=
a2+2ab+b2
4
-
a2+b2
2
=
-a2+2ab-b2
4
=-
(a-b)2
4
?(
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2≤0?(
a+b
2
)2≤(
a2+b2
2
)2?
a+b
2
≤
a2+b2
2
，
当且仅当a=b时取等号．（11分）
综上知：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，当且仅当a=b时等号成立．（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知a、b都是正数，且a≤2，b≤2，则a2-2b为非负数的概率是（　　）
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
1
6
已知a，b都是正数，下列命题正确的是（　　）
A、
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
B、
a2+b2
2
≤
ab
≤
a+b
2
≤
2
1
a
+
1
b
C、
ab
≤
2
1
a
+
1
b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
D、
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a2+b2
2
≤
a+b
2
选做题：不等式选讲
（Ⅰ） 设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m，求证
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥
9
m
．
（Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax2+by2≥（ax+by）2．
已知a，b都是正数，△ABC是平面直角坐标系xOy内，以两点A （ a，0 ）和B （ 0，b ）为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}内，试求 变量 a，b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内内画出这个约束等条件表示的平面区域；
（2）当（ a，b ）在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a，b ）的值．
（2011•渭南三模）已知a、b都是正数，且a≤2，b≤2，则a2-2b为非负数的概率是
1
3
1
3
．

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