题目内容

已知a，b都是正数，△ABC是平面直角坐标系xOy内，以两点A （ a，0 ）和B （ 0，b ）为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}内，试求 变量 a，b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内内画出这个约束等条件表示的平面区域；
（2）当（ a，b ）在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a，b ）的值．
分析：（1）由于△ABC是平面直角坐标系xOy内，以两点A （ a，0 ）和B （ 0，b ）为顶点的正三角形，得出顶点C是以A、B为圆心|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，结合圆的方程解出C点的坐标，利用其在△ABC含于正方形D内，即可得出关于（a，b）的约束条件．其图形为右图的六边形；
（2）根据△ABC是边长为
a2+b2
 的正三角形，当S取最大值等价于六边形图形中的点（ a，b ）到原点的距离最大，利用六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算即得．
解答：解：（1）顶点C是以A、B为圆心|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，
由圆A：（ x-a）2+y2=a2+b2，圆B：x2+（ y-b ）2=a2+b2．
解得 x=
a+
3
b
2
，y=
3
a+b
2
，
∴C（
a+
3
b
2
，
3
a+b
2
 ），
△ABC含于正方形D内，
即三顶点A，B，C含于区域D内时，
∴
0≤a≤1
0≤b≤1
0≤
a+
3
b
2
≤1
0≤
3
a+b
2
≤1.

这就是（a，b）的约束条件．其图形为右图的六边形，
∵a＞0，b＞0，∴图中坐标轴上的点除外．
（2）∵△ABC是边长为
a2+b2
 的正三角形，
∴S=
3
4
 （ a2+b2）在（1）的条件下，
当S取最大值等价于六边形图形中的点（ a，b ）到原点的距离最大，
由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算．
OP2=OR2=12+（ 2-
3
 ）2=8-4
3
；OQ2=2（
3
-1）2=8-4
3
．
知：当 （ a，b ）=（ 1，2-
3
 ），或（
3
-1，
3
-1），或（ 2-
3
，1 ）时，Smax=2
3
-3．
点评：本小题主要考查简单线性规划的应用、圆的方程、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知a、b都是正数，且a≤2，b≤2，则a2-2b为非负数的概率是（　　）
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
1
6
已知a，b都是正数，下列命题正确的是（　　）
A、
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
B、
a2+b2
2
≤
ab
≤
a+b
2
≤
2
1
a
+
1
b
C、
ab
≤
2
1
a
+
1
b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
D、
2
1
a
+
1
b
≤
ab
≤
a2+b2
2
≤
a+b
2
选做题：不等式选讲
（Ⅰ） 设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m，求证
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥
9
m
．
（Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax2+by2≥（ax+by）2．
（2011•渭南三模）已知a、b都是正数，且a≤2，b≤2，则a2-2b为非负数的概率是
1
3
1
3
．

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