题目内容
在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=| bn |
| an |
（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列{lnan}，{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn．若a1=2，
| Sn |
| Tn |
| n |
| 2n+1 |
分析：（Ⅰ）设|an|的公比为q1，|bn|的公比为q2，根据cn=
进而可得
化简得
进而可证明|cn|为等比数列．
（Ⅱ）根据数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，可推断数列{lnan}，{lnbn}为等差数列．进而可求得Sn和Tn代入
=
，可求得q1，q2=16和b1=8．代入cn=
即可得到数列{cn}的通项公式，结果发现数列{cn}是以4为首项，4为公比的等比数列，进而根据等比数列的求和公式可得到答案．
| bn |
| an |
| cn+1 |
| cn |
| q2 |
| q1 |
（Ⅱ）根据数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，可推断数列{lnan}，{lnbn}为等差数列．进而可求得Sn和Tn代入
| Sn |
| Tn |
| n |
| 2n+1 |
| bn |
| an |
解答：解：（Ⅰ）{cn}是等比数列．
证明：设{an}的公比为q1（q1＞0），{bn}的公比为q2（q2＞0），
则
=
•
=
•
=
≠0，故{cn}为等比数列．
（Ⅱ）数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．
由条件得
=
，即
=
．
故对n=1，可得
=
，又a1=2，可得b1=8，
于是
=
可变为
（2lnq1-lnq2）n2+（4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2）n+（2lna1-lnq1）=0对任意的正整数n恒成立
于是
将a1=2代入得q1=4，q2=16，b1=8．
从而有cn=
=4n．所以数列{cn}的前n项和为4+42+…+4n=
(4n-1)．
证明：设{an}的公比为q1（q1＞0），{bn}的公比为q2（q2＞0），
则
| cn+1 |
| cn |
| bn+1 |
| an+1 |
| an |
| bn |
| bn+1 |
| bn |
| an |
| an+1 |
| q2 |
| q1 |
（Ⅱ）数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．
由条件得
nlna1+
| ||
nlnb1+
|
| n |
| 2n+1 |
| 2lna1+(n-1)lnq1 |
| 2lnb1+(n-1)lnq2 |
| n |
| 2n+1 |
故对n=1，可得
| lna1 |
| lnb1 |
| 1 |
| 3 |
于是
| 2lna1+(n-1)lnq1 |
| 2lnb1+(n-1)lnq2 |
| n |
| 2n+1 |
（2lnq1-lnq2）n2+（4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2）n+（2lna1-lnq1）=0对任意的正整数n恒成立
于是
|
将a1=2代入得q1=4，q2=16，b1=8．
从而有cn=
| 8•16n-1 |
| 2•4n-1 |
| 4 |
| 3 |
点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
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|
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| 5 |
| 2 |
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