Question

（08年青岛市质检一文）（12分）  如图，在底面是正方形的四棱锥P―ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

   （I）证明PA⊥平面ABCD；

   （II）已知点E在PD上，且PE：ED=2：1，点F为棱PC的中点，证明BF//平面AEC。

 

Answer 1

解析:证明：（I）因为在正方形ABCD中，AC=2

∴AB=AD=

可得：在△PAB中，PA²+AB²=PB²=6。

所以PA⊥AB …………3分

同理可证PA⊥AD

故PA⊥平面ABCD …………5分

   （II）取PE中点M，连接FM，BM，

连接BD交AC于O，连接OE

∵F，M分别是PC，PF的中点，

∴FM∥CE，…………7分

又FM面AEC，CE面AEC

∴FM∥面AEC …………9分

又E是DM的中点

OE∥BM，OE面AEC，BM面AEC

∴BM∥面AEC且BM∩FM=M

∴平面BFM∥平面ACE

又BF平面BFM，∴BF∥平面ACE …………12分