Question

（2011•延安模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，AA₁=4，E是A₁B₁的中点．
（1）求CE与平面ACB所成的角．
（2）求异面直线BA₁与CB₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的性质考虑过点E作EH垂直于AB于H，则∠ECH就是所求的CE与平面ACB所成的角，在Rt△ECH中求解
（2）考虑补形，在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱，由CB₁∥C₂B可得∠A₁BC₂或其补角就是异面直线BA₁与CB₁所成的角

解答：解：（1）过点E作EH垂直于AB于H，连接CH，
则∠ECH就是所求的CE与平面ACB所成的角 （2分）
∵EH=4，CH=

2

∠ECH=arctan2

2

（5分）
即CE与平面ACB所成的角为arctan2

2

；
（2）在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱
∵CB₁∥C₂B
∴∠A₁BC₂或其补角就是异面直线BA₁与CB₁所成的角 （8分）
∵BA₁=2

6

，C₂B=2

5

，A₁C₂=2

17

∴在△A₁BC₂中，由余弦定理可得∠A₁BC₂=arccos（-

30

10

） （11分）
∴异面直线BA₁与CB₁所成的角为arccos

30

10

．　（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角的求解及异面直线所成的角，求解线面角的关键是要找到与已知直线垂直的直线，而求解异面直线所成角的关键是要把其中的异面直线中的一条或两条进行平移（即做已知直线的平行线）