Question

【题目】如果数列对任意的满足：，则称数列为“数列”.

（1）已知数列是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；

（2）已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；

（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3），证明见解析.

【解析】

（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列是递增数列；再根据，，可得；

（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；

（3）对一切，有．运用数学归纳法证明，注意验证成立；假设不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．

（1）证明：数列是“数列”，可得，

即，即，

可得数列是递增数列，

.

（2）数列是“数列”，

可得，

即，

可得，

即有，或，或，

即或或，

所以.

（3）数列是各项均为正数的“数列”，

对于取相同的正整数时，，

运用数学归纳法证明：

当时，，，显然即．

设时，．即，

可得，

当时，即证，

即证，

由

，

即证

即证，

由，，，，

相加可得，

则对一切，有．